Bei uneigentlichen Integralen werden limes benutzt, um Grenzwerte von Asymptoten oder Singularitäten zu berechnen. Zum Verständnis kann ich nur MatheMatricks Video dazu empfehlen.

Beispiel #

\[\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1+x^2} \operatorname{d}x\]

Der Bruch sollte bekannt sein: \(\int \frac{1}{1+x^2} \operatorname{d}x = \arctan x\). Da der Anfangs- und Endwert unbeschränkt sind, ist es Sinnvoll das Integral mit zwei Limes in der »Mitte« (also \(x=0\)) aufzusplitten: \[ = \lim_{a \to -\infty} \int_a^0 \frac{1}{1+x^2} \operatorname{d}x + \lim_{b \to \infty} \int_0^b \frac{1}{1+x^2} \operatorname{d}x. \] Nun kann man seperat die uneigentlichen Integrale berechnen. Wir wissen dass \(\arctan(-\infty) = -\frac{\pi}{2}\), weil \(\lim_{\theta \to \left( -\frac{\pi}{2}\right)} \tan \theta = -\infty\) bzw. \(\frac{\sin \left( -\frac{\pi}{2}\right)}{\cos \left( -\frac{\pi}{2}\right)} = \frac{-1}{0}.\) Ähnliches gilt (natürlich mit anderem Vorzeichen) für \(\arctan \infty.\)

\[ \begin{aligned} \lim_{a \to -\infty} \int_a^0 \frac{1}{1+x^2} \operatorname{d}x &= \lim_{a \to -\infty} \left[ \arctan x \right]_a^0\\ &= \arctan 0 - \arctan (-\infty)\\ &= 0 - \left(-\frac{\pi}{2}\right)\\ &= \frac{\pi}{2}\\ \lim_{b \to \infty} \int_0^b \frac{1}{1+x^2} \operatorname{d}x &= \lim_{b \to \infty} \left[ \arctan x \right]_0^b\\ &= \arctan \infty - \arctan 0\\ &= \frac{\pi}{2} - 0\\ &= \frac{\pi}{2}\\ \end{aligned} \]

Addiert man nun die Hälften der uneigentlichen Integrale, erhält man als endgültige Lösung \[ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1+x^2} \operatorname{d}x = \pi. \]