Notes on Johannes Karl Arnold

Allgemeiner Spickzettel

Wed, 19 Jul 2023 13:28:34 +0200

Wichtige Rechenregeln #

Brüche #

Kreuzweise Multiplikation #

Jede Seite mit dem Nenner der anderen multiplizeren, dadurch fällt der Nenner weg.

\begin{align} \frac{a}{b} &= \frac{c}{d}\\ \frac{a \cdot d}{b \cdot d} &= \frac{c \cdot b}{d \cdot b}\\ a \cdot d &= c \cdot b \end{align}

Reihen

Wed, 26 Jul 2023 14:47:55 +0200

Konvergenz- und Divergenzkriterien von Reihen #

Eine notwendige Bedingung für das Konvergieren von Reihen, ist dass die Folge eine Nullfolge ist.

\begin{equation} \lim_{k \to \infty} a_k = 0 \end{equation}

Geometrische Reihen #

\begin{equation} \sum_{k=1}^\infty q^{k} = \begin{cases} \frac{q^m}{1-q} & |q| < 1\\ \text{divergiert} & |q| \geq 1 \end{cases} \end{equation}

Harmonische Reihen #

\begin{equation} \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^s} = \begin{cases} \text{konvergiert} & s > 1\\ \text{divergiert} & s \leq 1 \end{cases} \end{equation}

Taylorpolynome

Thu, 06 Jul 2023 00:00:00 +0000

Allgemeine Formel für Taylorpolynome #

Die Formel für das Taylorpolynom der Ordnung \(n\) um den Entwicklungspunkt \(x_0\) lautet

\begin{align} P_{x_0, n} &= f(x_0) + f^\prime (x_0)(x-x_0) + \frac{f^{\prime \prime} (x_0)}{2!} (x-x_0)^2 \dots\\ &= \sum_{k=0}^n \frac{f^k (x_0)}{k!} \cdot (x-x_0)^k \end{align}

Beispiel #

Berechnen Sie das Taylorpolynom von \(f(x) = e^x\) vom Grad \(n\) um den Entwicklungspunkt \(0\).

Äquivalenzklassentests

Wed, 21 Feb 2024 21:56:26 +0100

Idee: Ein Programm reagiert bei der Verarbeitung eines Wertes aus einem bestimmten Bereich genau so wie bei der Verarbeitung jedes anderen Wertes aus diesem Bereich.

Annahme: Ahnliche eingaben finden ähnliche Fehler.

Funktionsweise #

Zerlege Wertebereich der Eingabeparameter oder (seltener) Definitionsbereich der Ausgabeparameter in Äquivalenzklassen
Aus jeder Äuivalenzklasse einen Repräsentanten nehmen
Repräsentanten aller Parameter geschickt kombinieren mit Testdaten

(Gutes Beispiel auf Pagina 10 von Übung 7.)

Tests

Wed, 21 Feb 2024 21:26:35 +0100

Ausführen eines Programms mit dem Ziel, Fehler zu finden

Testmethoden #

Black-Box-Test: Code ist unbekannt. Ist und Soll aus Anforderungen. Findet nicht implementierte Requirements.
White-Box-Test: Code ist bekannt. Ist kommt aus Code. (reichen die Testfälle dafür? Findet Fehler im Code)

Wichtig: bei beiden Tests kommt der Soll-Wert aus der Spezifikation

Testarten #

Unit-Test: Kleinste testbare Einheit (Methode, Klasse)
Testsuite: Mehrere Testfälle nacheinander
Integrationstest: Mehrere Komponenten zusammen testen
Systemtest: Alle SW- und HW-Komponente zusammengebaut. Testet das System als ganzes.
Abnahmetest: Spezialfall des Systemtests. Es wird sichergestellt, dass die vorher festgelegten Funktionen/Aspekte fehlerfrei funktionieren. (Nach Definition kein Test, da hier gezeit wird dass das System nach Anforderungen funktioniert)

Testplan #

Ein Testplan enthält neben den Testfällen noch

Erklärbarkeit

Wed, 21 Feb 2024 21:14:11 +0100

Erklärbarkeit ist ein besonderer Qualitätsaspekt: SW soll gut verständlich sein, oder effizient nutzbar, oder transparent, oder vertrauenswürdig. Hier kommt GQM ins Spiel. Erklärbarkeit hat wechselwirkungen mit anderen Non-Functional Requirements.

Understandability: Erklärungen sind für den Adressaten leicht verständlich
Transparency: Erklärungen geben einen ausreichenden Einblick in die Funktionsweise des Systems
Effectiveness: Erklärungen helfen dem Adressaten, das System besser zu nutzen (bessere Entscheidungen zu treffen / Funktionen zu nutzen, die am besten passen)
Efficiency: Erklärungen helfen dem Adressaten, das System schneller zu nutzen (Entscheidungen schneller treffen / das System schneller verstehen/Aktionen schneller ausführen)

Wieso wichtig? Damit man versteht was die Software tut, wenn

Security

Wed, 21 Feb 2024 21:08:47 +0100

Degree to which a product or system protects information and data so that persons or other products or systems have the degree of data access appropriate to their types and levels of authorization.

Die Software soll also gegen Angriffe sicher sein, mit den folgenden Unterpunkten:

Confidentiality: ensures that data are accessible only to those authorized to have access.
Integrity: prevents unauthorized access to, or modification of, computer programs or data.
Non-repudiation¹: can be proven to have taken place so that the events or actions cannot be repudiated later.
Accountability: can be traced uniquely to the entity.
Authenticity: identity of a subject or resource can be proved to be the one claimed.

STRIDE #

Spoofing, Tampering, Repudiation, Information disclosure, Denial of service, Elevation of privilege

Usability

Wed, 21 Feb 2024 19:22:29 +0100

Der Grad, zu dem ein Produkt oder System durch definierte Benutzer verwendet werden kann, um spezielle Ziele, nämlich

Effektivität,

Effizienz,

Zufriedenheit,

in einem bestimmten Nutzungskontext zu erreichen.

Die Software soll also besonders gut nutzbar sein, mit den folgenden Unterpunkten:

Effektivität: Genauigkeit u. Vollständigkeit, mit der Benutzer best. Ziele erreichen.
Effizienz: Die von den Benutzern aufgewendeten Mittel im Verhältnis zur Genauigkeit und Vollständigkeit, mit der die Benutzer ihre Ziele erreichen.
Zufriedenheit: Die Freiheit von Unbehagen und Beschwerden sowie die positive Einstellung zur Nutzung des Produkts oder Systems.

Ziele #

Performance-Ziele #

Quantifizieren die Leistung des Benutzers bei Erledigung einer Aufgabe. Dabei werden Zeit und Fehler gemessen. (Absolutes Maß & objektiv)

Goal-Question-Metric

Wed, 21 Feb 2024 18:14:34 +0100

Die GQM ist eine Methode, um die richtige Metrik zu finden:

Ziele erheben und verfeinern (Goals): Zielbaum
Ziele mit Facetten genauer beschreiben (Goals)
- Zweck (verstehen, verbessern?)
- Qualitätsaspekt (Effizienz, Effektivität, Kostenwirksamkeit?)
- Betrachtungsgegenstand (Testprozess, Testplan?)
- Perspektive u. Umgebung (Projekt/Bereich xyz)
Ableitung von Fragen zu den Zielen (Questions): Ein Abstraction Sheet pro Ziel
Ableitung von zugehörigen Metriken (Metric)
Messplan für Datenerhebung erstellen (Metric)
Datenerhebung und Auswertung

Abstraction Sheet Inhalte #

Oben stehen Zweck der Messung, Qualitätsaspekt, Betrachtungsgegenstand und Perspektive.

Software-Qualität

Sun, 18 Feb 2024 16:54:23 +0100

Uneigentliche Integrale

Tue, 06 Feb 2024 14:14:43 +0100

Bei uneigentlichen Integralen werden limes benutzt, um Grenzwerte von Asymptoten oder Singularitäten zu berechnen. Zum Verständnis kann ich nur MatheMatricks Video dazu empfehlen.

Beispiel #

\[\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{1+x^2} \operatorname{d}x\]

Der Bruch sollte bekannt sein: \(\int \frac{1}{1+x^2} \operatorname{d}x = \arctan x\). Da der Anfangs- und Endwert unbeschränkt sind, ist es Sinnvoll das Integral mit zwei Limes in der »Mitte« (also \(x=0\)) aufzusplitten: \[ = \lim_{a \to -\infty} \int_a^0 \frac{1}{1+x^2} \operatorname{d}x + \lim_{b \to \infty} \int_0^b \frac{1}{1+x^2} \operatorname{d}x. \] Nun kann man seperat die uneigentlichen Integrale berechnen. Wir wissen dass \(\arctan(-\infty) = -\frac{\pi}{2}\), weil \(\lim_{\theta \to \left( -\frac{\pi}{2}\right)} \tan \theta = -\infty\) bzw. \(\frac{\sin \left( -\frac{\pi}{2}\right)}{\cos \left( -\frac{\pi}{2}\right)} = \frac{-1}{0}.\) Ähnliches gilt (natürlich mit anderem Vorzeichen) für \(\arctan \infty.\)

Spickzettel

Mon, 05 Feb 2024 00:00:00 +0000

Anbei mein handgeschriebener Spickzettel für die Klausur. Leider war der Text sehr klein bzw. an manchen Stellen unleserlich. Nichtsdestotrotz hat er mir sehr geholfen. Vielleicht hilft er Anderen auch weiter.

Übliche Formeln und Algorithmen

Beispielaufgaben mit Lösungen

Online-Trainer Nr. 4 zu Algebraischen Strukturen

Sun, 14 Jan 2024 16:03:03 +0100

Aussagen zur Teilbarkeit #

Welche der folgenden Aussagen sind wahr und welche sind falsch?

Die Zahlen 2023 und 6137 sind teilerfremd.

Hier berechnet man einfach den ggT (größten gemeinsamen Teiler) der Zahlen mittels des Euklidischen Algorithmus: \[ \begin{aligned} 6137 &= 2023 \cdot 3 + 68\\ 2023 &= 68 \cdot 29 + 51\\ 68 &= 51 \cdot 1 + 17\\ 51 &= 17 \cdot 3 + 0 \end{aligned} \]

Online-Trainer Nr. 3 zu Graphentheorie

Mon, 08 Jan 2024 18:46:33 +0100

Gradfolgen #

Welche Folgen sind Gradfolgen eines Graphen?

Die Folge \((1,1,2,4,4)\) ist keine Gradfolge eines Graphen.

Angenommen, \(G\) sei ein Graph mit Gradfolge \((1, 1, 2, 4, 4)\). Es gibt \(5\) Ecken, davon haben zwei Grad \(4\), sind also mit jeder anderen Ecke verbunden. Damit hat aber jede Ecke in \(G\) mindestens Grad \(2\).

Die Folge \((1,1,2,3,3)\) ist Gradfolge eines Graphen.

Man kann diesen malen. Beispiel aus dem Quiz:

Online-Trainer Nr. 2 zu Rekursionsgleichungen

Sun, 07 Jan 2024 13:02:13 +0100

Lösen linearer Rekursionsgleichungen #

Wir betrachten die Rekursionsgleichung \[x_0 = 2, x_n = 3x_{n-1}-4.\] Dies ist eine lineare Rekursionsgleichung der Ordnung \(1\) und es gilt

\(x_1 = {2}\), \(x_2 = {2}\), \(x_3 = {2}\)

Bestimmen Sie nun eine geschlossene Formel für die Zahlen \(x_n\).

\(x_n = {0} \cdot 3^n + {2}\)

Die Gleichung ist linear, da alle Summanden feste Zahlen sind. Die Ordnung ist 1, da immer nur “ein Schritt zurück” gerechnet wird. Wir rechnen kurz die ersten Werte: \[ \begin{aligned} x_1 &= 3(2)-4 = 2\\ x_2 &= 3(2)-4 = 2\\ x_3 &= 3(2)-4 = 2\\ \vdots&\\ x_n &= 2 \end{aligned} \]

ILIAS Lösungen

Fri, 05 Jan 2024 16:58:30 +0100

Meine Rechenwege zu den ILIAS-Probeübungen.

Online-Trainer Nr. 1 zu Kombinatorik

Fri, 05 Jan 2024 16:58:30 +0100

Buchstaben kombinieren #

Gesucht sei die Anzahl der verschiedenen Wörter mit \(8\) Buchstaben aus dem Alphabet mit den Buchstaben \(a,b,c,d,e\), welche genau \(3\) mal den Buchstaben \(e\) und genau \(4\) mal den Buchstaben \(a\) enthalten.

Die Lösung ist hier ähnlich zu einer Aufgabe von Übungsblatt 2:

\[ \binom{8}{3} \cdot \binom{5}{4} \cdot 3^1 = 840 \]

Der erste Binomialkoeffizient wählt drei \(e\)s aus acht möglichen Buchstaben. Der zweite wählt dann vier \(a\)s aus den restlichen fünf stellen. Für die letzte Stelle kann man einen beliebigen Buchstaben aus der Menge \(\{b,c,d\}\) wählen.

Binomischer Lehrsatz

Tue, 26 Dec 2023 16:03:40 +0100

Lemma 1.9 (Binomischer Lehrsatz). Seien \(x\) und \(y\) Unbestimmte oder Zahlen, die kommutieren, d.h. \(xy = yx\). Dann gilt für alle \(n \in \mathbb{N}\): \[(x+y)^n = \sum_{i=0}^{n} \binom{n}{i} x^{n-i}y^i\]

Aufgabe 2 (e) #

Bestimmen Sie den Koeffizienten von \(x^5\) in \((2x-3)^8\)

Lösung. #

Nach dem Binomischen Lehrsatz ist \[(2x-3)^8 = \sum_{i=0}^{8} \binom{8}{i} (2x)^{8-i} (-3)^i.\] \(5 = 8-i \iff i=3,\) somit erhält man den Koeffizienten für \(x^5\) durch \[\binom{8}{3} \cdot 2^5 \cdot (-3)^3 = 56 \cdot 32 \cdot -27 = -48384.\]

Diskrete Strukturen

Wed, 02 Aug 2023 15:14:17 +0200

Notizen und Lösungen zum Kurs Diskrete Strukturen vom Institut für Algebra, Zahlentheorie und Diskrete Mathematik.

Integration

Thu, 27 Jul 2023 12:39:45 +0200

Partielle Integration #

\begin{equation} \int u~dv \implies uv - \int vdu \end{equation}

Beispiel #

\begin{equation} \int x \arctan{x}~~dx = \int (\arctan{x}) (x~~dx) \end{equation}

Wir wählen \(u = \arctan{x}\) und \(dv = x~dx\).

Somit gilt \(du = \frac{1}{1+x^2}\) und \(v = \frac{x^2}{2}\).

\begin{align} \frac{x^2}{2}\cdot \arctan{x} - \int \frac{1}{1+x^2} \cdot \frac{x^2}{2}~~dx\\ \frac{x^2}{2}\cdot \arctan{x} - \frac{1}{2} \int \frac{1}{1+x^2} \cdot x^2~~dx\\ \end{align}

Lagrange-Multiplikator

Thu, 27 Jul 2023 08:21:48 +0200

Suche von Extremstellen einer Funktion \(f\) mit der Nebenbedingung \(s\).

\(f\) muss stetig sein
\(s\) muss eine kompakte Menge darstellen können (also abgeschlossen & beschränkt)

Dann gilt \begin{equation} \mathcal{L} (x_0, y_0, \lambda_0) = \nabla f \cdot \lambda \nabla g \end{equation} beziehungsweise um den Nullpunkt zu finden \begin{equation} \nabla f = \lambda \nabla g \end{equation}

Algebraische Strukturen

Mon, 03 Jul 2023 00:00:00 +0000

Teilbarkeit #

Quersummenregel #

Der ultimative Life-Hack, wenn man bei der Primfaktorzerlegung stecken ist.

Eine Zahl ist durch \(3\) teilbar, wenn die Quersumme durch \(3\) teilbar ist.
Eine Zahl ist durch \(9\) teilbar, wenn die Quersumme durch \(9\) teilbar ist.

Beispiel: auf erstem Blick erscheint \(441\) wie eine Primzahl, da aber \(4+4+1 = 9\) ist die Zahl durch \(9\) teilbar.

Graphentheorie

Mon, 12 Jun 2023 00:00:00 +0000

Satz 3.5. Sei \(G = (E, K)\) ein (Multi-)Graph. Dann gilt:

\(\sum_{v \in E} \deg{v} = 2 |K|\)

Die Anzahl der Ecken mit ungeradem Grad ist gerade.

Zusammenhängende Graphen #

Definition 3.10. Ein (Multi-)Graph \(G = (E, K)\) heißt zusammenhängend, wenn je zwei Ecken \(u, v \in E\) durch einen Weg verbunden werden können, d.h. es gibt einen Weg \(u_1, \dots, u_s\) in G mit \(u_1 = u\) und \(u_s = v\).

Rekursionsgleichungen

Mon, 15 May 2023 00:00:00 +0000

Der Unterschied zwischen homogen und inhomogen ist nur, dass eine inhomogenene Rekursionsgleichung eine Konstante hinzugefügt hat. Beispielsweise ist \(x_n = 2 x_{n-1} + 3\) inhomogen.

Die Ordnung wird durch die anzahl der \(x_{k-\dots}\) bestimmt. Beispielsweise ist \(x_n = 3 x_{n-1} + x_{n-2}\) eine Rekursionsgleichung der 2. Ordnung.

Erste Ordnung lösen #

Sei \(x_0 = b_0, x_n = c x_{n-1} +b_1\) für \(n \geq 1\). Dann gilt: \begin{equation} x_n = \begin{cases} c^n b_0 & b_1 = 0\\ b_0 + n b_1 & c=1\\ c^n b_0 + \frac{c^n - 1}{c-1} b_1 & c \neq 1 \end{cases} \end{equation}

Kombinatorik & Zählprobleme

Mon, 08 May 2023 00:00:00 +0000

Inklusion und Exklusion #

Für zwei Mengen #

\begin{equation} |A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| \end{equation}

Für drei Mengen #

\begin{equation} |A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C| \end{equation}

Stirling Zahlen

Mon, 08 May 2023 00:00:00 +0000

…der Ersten Art #

Definition 1.18

Für \(n \in \mathbb{N}, k \in \mathbb{N}_0\) sei \(s_{n,k}\) die Anzahl der Permutationen in \(S_n\) mit genau \(k\) Zykeln in der Zykelschreibweise. Außerdem setzen wir \(s_{0,0} = 1.\)

Eigenschaften #

Proposition 1.19

Für \(n < k\) ist \(s_{n,k} = 0.\)
\(s_{n,0} = 0\) und \(s_{n,n} = 1\) für alle \(n \in \mathbb{N}.\)
Für alle \(n \in \mathbb{N}\) gilt:
1. \(s_{n,1} = (n − 1)!\)
2. \(s_{n,n−1} = \binom{n}{2}\)
\(\sum_{k=1}^n s_{n,k} = n!\)

Code Beispiel #

#!/bin/env python
from math import comb, factorial


def stirling(n: int, k: int) -> int:
 if n < k:
 return 0
 if k == 0:
 return 0
 if n == k:
 return 1
 if k == 1:
 return factorial(n - 1)
 if k == n - 1:
 return comb(n, 2)

 return stirling(n - 1, k - 1) + (n - 1) * stirling(n - 1, k)


if __name__ == "__main__":
 n = int(input())
 k = int(input())
 s = stirling(n, k)
 print(s)

…der Zweiten Art #

Gegeben einer Menge \(\{x_1, \dots x_n\}\), zähle die Anzahl von Möglichkeiten diese auf \(k\) Partitionen aufzuteilen.

Analysis

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

Notizen und Lösungen vom Kurs Mathematik 2: Analysis.

McCabe-Metrik

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

Die Idee der McCabe Metrik, ist dass der Programmablauf (Programmverzweigungen und Schleifen) das Programm komplex machen, nicht zwingend die LOC. Egal ob man durch Programmcode oder Ablaufgraph misst, sollten beide Techniken immer das gleiche Ergebnis liefern.

Anweisung vs. Bedingung #

Wichtig zu wissen, ist das ähnlicher Code je nach Kontext als Anweisung oder Bedingung zählt:

public static boolean test() {
 return ((1 == 1) && (2 == 2) || (1 == 5));
}

hat eine McCabe-Metrik von 1, da ein Wert zurückgegeben wird.

Metriken

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

Softwaremetrik: Funktion, die eine Software-Einheit in einen Zahlenwert abbildet. Dieser Wert ist interpretierbar als der Erfüllungsgrad einer Qualitätseigenschaft der Software-Einheit.

Notizen

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

Die folgenden Abschnitte enthalten Notizen zu den einzelnen Informatikkursen, die ich während meiner Zeit an der Leibniz Universität Hannover belegt habe.

Bitte bedenke dabei:

Ich werde weitere Notizen hochladen, sobald ich die Zeit dazu finde. Dieser Abschnitt ist bei weitem nicht vollständig.
Das Material ist in gemischten Sprachen. Im Menü kann man die Sprachen wechseln.

Qualitätsaspekte

Mon, 01 Jan 0001 00:00:00 +0000

Eigenschaften einer Einheit, anhand derer ihre Qualität beschrieben und beurteilt wird.

Qualitätsziel: Angestrebtes Qualitätsaspekt
Qualitätsanforderung: Ein oder mehrere Qualitätsziele
Qualitätsmetrik: Maß für Ausprägung eines Qualitätsaspekts

Qualitätspolitik #

…Rahmen aller Aktivitäten im Qualitätsmanagement…

Siehe Beispiel dazu aus Übung 6. Wenn ein Unternehmen Fehlerhafte Software liefert, ist der Programmierer sowie das Management verantwortlich. Der Autor des Codes soll nicht der Tester sein, da der Autor voreingenommen ist: gefunde Fehler sind ein Erfolg für den Tester, und zeigen nicht dass das Programm »gut läuft«.